Introducción

Esta unidad sobre las ecuaciones cuadráticas está dirigido para todos los estudiantes y personas que necesitan una explicación más explícita, ya que se tiene como objetivo principal mejorar el aprendizaje sobre este tema.

Objetivo General

Garantizar el rendimiento académico a los estudiantes para mejorar la enseñanza de la ecuación cuadrática

Objetivo Específicos

·         Diseñar e implementar un método más práctico de educación

·         Lograr que los alumnos comprendan el tema de una forma más optima

Definición

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 donde a, b y c son números reales y a debe ser diferente de cero.

Ejemplos

X²-9=0                                                        x²-x-12=0,                                        2x²-3x-4=0                

La condición de que a es un numero diferente de cero en la definición asegura que existe el termino x² en la ecuación. Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En esta unidad estudiaremos los siguientes métodos; formula general, factorización de un trinomio cuadrado perfecto y no perfecto.

Ecuaciones Cuadráticas Disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Que hacer	En forma estándar	a, b y c
x2=3x-1	Mueve todos los términos a la izquierda	0= x2+3x-1	a=1; b=3; c-1
2(x2-2x)=5	Desarrolla paréntesis y junta todos los términos en la izquierda	2 x2-4x-5	a=2; b=-4; c=-5
x(x-1)=2(x+3)	Desarrolla paréntesis y realiza la transposición de termino e iguala a cero	x2-3x-6=0	a=1; b=-3; c=-6
5+1/x -2/x2=0	Multiplica por x2	5x2+x-1=0	a=5; b=1; c=-1

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática existen distintas métodos, pero en esta unidad solo usaremos 4 de ellos que son los siguientes:

a)    Formula general

b)    Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

c)    Factorización de un trinomio no cuadrado perfecto caso I y caso II 

a) Formula General

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por la formula general

1)    x²-3x-6=0

Solución

Identifiquemos los coeficientes antes de usar la formula general

a=1; b=-3; c=-6

Sustituir en esta fórmula los valores de a, b y c 

x=[-b±√b²-4ac]/2ª

 =[-(-3) ±√(-3)²-4(1)(-6)]/2(1)

 =[3±√9+24]/2

 =[3±√33]/2

 =[3±5.7]/2

X₁=[3+5.7]/2=10.7/2=5.35

X₂=[3-5.7]/2=-2.7/2=1.35

Veamos otros ejemplos en esta imagen resueltos ahora

Este Vídeo Nos Explica Como Resolver una Ecuación Cuadrática Por la Formula General

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto de la Forma Ax²+Bx+c

En este caso se verifica que el primer y tercer término es positivos y tienen raíces cuadradas exactas y el segundo es el doble producto del primero y el tercer término.

Factorizamos estas expresiones extrayendo la raíz cuadrada del primer y el tercer término del trinomio y separamos estas raíces por el signo del segundo término. Este binomio repetido dos veces constituye los factores del trinomio cuadrado perfecto.

Por ejemplo

a)      16x²+24x+9

Solución

Sacar la raíz cuadrada del término cuadrado y el lineal ya que están positivos

√(16x²)          √(9)           

       4x               3

Multiplicamos por 2 la raíz del primer y tercer término

2(4x)(3)=12 como nos dio el segundo término es un cuadrado perfecto

Lo escribimos como un binomio repetido dos veces por ser perfecto usando el signo del segundo término así

(4x+3)(4x+3) si queremos el valor de x igualamos a cero

4x+3=0

4x/4=-3/4

X₁=X₂=-3/4, la raíz es la misma porque es un cuadrado perfecto

Ahora veamos un vídeo donde se resuelvan ecuaciones por este método 

Factorización de un Trinomio de Forma ax²+bx+c que no es Cuadrado Perfecto

Primer caso, a=1

Procedemos de la siguiente manera:

a)      Se descompone en dos binomios el trinomio dado, cuyo primer término en cada binomio es la raíz cuadrada de x²

b)      En el primer factor después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

c)       Si los dos factores binomios tienen en el medio signo igual, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del coeficiente del segundo término del trinomio y el producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos dos números son los segundos términos de los binomios.

d)      Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficiente del segundo término y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

e)      El mayor de esos dos números es el segundo término del primer binomio y el menor es el segundo término del segundo binomio

Por ejemplo

x²-2x-24, descomponer en dos binomios

(x    ) (x    ), colocar la raíz del termino cuadrado en ambos binomios

Luego signo de la segunda cantidad o termino en el primer binomio  

(x -  ) (x   ), ahora el producto del segundo signo por el tercero (-)(-)= (+) colocamos menos en el segundo binomios

(x -  ) (x + ), buscamos dos números que multiplicados den 24 y restado -2 estos serían -6 y 4

(x - 6) (x + 4)

Si queremos el valor de x solo debemos igualar a cero así

X₁-6=0                         X₂+4=0

X₁=6                             X₂=-4

Las raíces de la ecuación serian entonces X₁=6  e X₂=-4

Veamos Estos Ejemplos en Imágenes también

Veamos el Siguiente Vídeo 

Conclusión

Podemos concluir que las ecuaciones cuadráticas, es una forma de que los estudiantes puedan desarrollar diferentes habilidades que por naturaleza cada uno lleva dentro de sí.

El trabajo en grupo es importante ya que ellos pueden compartir y socializar el trabajo realizado y hacer comparaciones y llegar a un acuerdo entre todos para que de esta manera generar un conocimiento que sea de ayuda para todos y cada uno de las personas que integran el grupo.

Para finalizar puedo decir que el trabajo en equipo por parte de los alumnos es fundamental ya que de esta forma logran socializar las debilidades y destrezas de cada uno.